设两个一元二次方程ax2+2bx+1=0和cx2+2dx+1=0（其中a，b，c，d均为实数）满足a+c=2bd．求证：

设两个一元二次方程ax²+2bx+1=0和cx²+2dx+1=0（其中a，b，c，d均为实数）满足a+c=2bd．求证：上述两个方程中至少有一个方程有实数根． zhjnbu 1年前他留下的回答 已收到4个回答

taoshao 网友

该名网友总共回答了14个问题，此问答他的回答如下：采纳率：100%

解题思路：利用反证法即可得到结论．

假设上述两个方程中都没有实数根．
则两个方程的判别式△₁=4b²-4a＜0，△₂=4d²-4c＜0，
即b²＜a，d²＜c，不等式两边同时相加得b²+d²＜a+c，
∵a+c=2bd．
∴不等式等价为b²+d²＜2bd，
这与b²+d²≥2bd矛盾，
故假设不成立，
即上述两个方程中至少有一个方程有实数根．

点评：
本题考点： 反证法的应用．

考点点评： 本题主要考查命题的推理和证明，利用反证法是解决本题的关键．

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箜篌传说 网友

该名网友总共回答了3个问题，此问答他的回答如下：

反证法：假设两个方程都没有实根，则Δ1=4b^2-4a<0，Δ2=4d^2-4c<0,即a>b^2,c>d^2,所以：a+c>b^2+d^2>=2bd,即a+c>2bd，题目条件是a+c=2bd，产生矛盾，所以两个方程至少有一个方程有实根。

1年前他留下的回答

2

haha_7590589 网友

该名网友总共回答了8个问题，此问答他的回答如下：

方程ax方+2bx+1=0的

方程cx方+2dx+1=0的

用反正法，若两个方程一个实根也没有，则

<0,

<0,即

，也就是

而由题中a+c=2bd平方得

，也就是

<2ac,

而对任意实数，

恒成立。所以假设不成立，所以两个方程至少有一个方程有实根。

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lpang 网友

该名网友总共回答了15个问题，此问答他的回答如下：

Δ1=4b^2-4a
Δ2=4d^2-4c
Δ1+Δ2=4(b^2+d^2）—4（a+c）
因为a+c=2bd
所以Δ1+Δ2=4(b^2+d^2）—4（a+c）=4（b^2+d^2）-8bd=4(b-d)^2≥0
这就说明Δ1与Δ2中至少有一个是非负的，
所以，
两个方程至少有一个方程有实根
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