把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=

把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．

（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP•CQ______．
（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问AP•CQ的值是否改变？说明你的理由．
（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2，图3供解题用） scaisj 1年前他留下的回答 已收到2个回答

limingzhu158 网友

该名网友总共回答了19个问题，此问答他的回答如下：采纳率：100%

解题思路：（1）可通过证△APD∽△CDQ来求解．
（2）不会改变，关键是还是证△APD∽△CDQ，已知了一组45°角，关键是证（1）中的∠APD=∠QDC，由于图2由图1旋转而得，根据旋转的性质可设旋转角为α，那么∠APD=90°-α，∠CDQ=90°-α，因此两角相等．由此可证得两三角形相似．因此结论不变．
（3）本题分类两种情况进行讨论：①当0°＜a＜45°时②当45°≤a＜90°时．

（1）∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，
∴△APD∽△CDQ．
∴AP：CD=AD：CQ．
∴即AP×CQ=AD×CD，
∵AB=BC=4，
∴斜边中点为O，
∴AP=PD=2，
∴AP×CQ=2×4=8；
故答案为：8．
（2）AP•CQ的值不会改变．
理由如下：
∵在△APD与△CDQ中，∠A=∠C=45°，
∠APD=180°-45°-（45°+a）=90°-a，
∠CDQ=90°-a，
∴∠APD=∠CDQ．
∴△APD∽△CDQ．
∴[AP/AD＝
CD
CQ]，
∴AP•CQ=AD•CD=AD²=（[1/2]AC）²=8．
（3）情形1：当0°＜a＜45°时，2＜CQ＜4，即2＜x＜4，
此时两三角板重叠部分为四边形DPBQ，过D作DG⊥AP于G，DN⊥BC于N，
∴DG=DN=2
由（2）知：AP•CQ=8得AP=[8/x]，
于是y=[1/2]AB•BC=[1/2]CQ•DN-[1/2]AP•DG，
=8-x-[8/x]（2＜x＜4），
情形2：当45°≤a＜90°时，0＜CQ≤2时，即0＜x≤2，此时两三角板重叠部分为△DMQ，
由于AP=[8/x]，PB=[8/x]-4，易证：△PBM∽△DNM，
∴[BM/MN＝
PB
DN]，即[BM/2−BM＝
PB
2]
解得BM＝
2PB
2+PB＝
8−4x
4−x，
∴MQ＝4−BM−CQ＝4−x−
8−4x
4−x
于是y＝
1
2MQ•DN＝4−x−
8−4x
4−x(0＜x≤2)
综上所述，当2＜x＜4时，y＝8−x−
8
x；
当0＜x≤2时，y＝4−x−
8−4x
4−x(或y＝
x2−4x+8
4−x)．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．

考点点评： 本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及二次函数等知识的综合应用．

1年前他留下的回答

3

无忧的风玲 网友

该名网友总共回答了53个问题，此问答他的回答如下：

(1)
AP=2， CQ=4； AP•CQ=8
(2)
角A=角C=角EDF=45°
角ADP+角CDQ=180-角EDF=135°
三角形APD中，角A+角ADP+角APD=180°，角ADP+角APD=135°
所以 角QDC=角APD
三角形CDQ中，角C+角CDQ+角CQD=180°，角CDQ+角CQD=135°
...

1年前他留下的回答

2

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